题目内容
在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）
表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．求：（1）几秒时PQ∥AB；
（2）设△OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标，若不能，试说明理由．
分析：（1）由两点间的距离公式求得AO=10，然后根据平行线PQ∥AB分线段成比例知
=
，据此列出关于t的方程，并解方程；
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．构造平行线PC∥AQ，根据平行线分线段成比例及三角形的面积公式求得关于y与t的函数关系式；
（3）当PQ∥AB时，得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根据相似三角形的性质：对应线段成比例求得点P的坐标．
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．构造平行线PC∥AQ，根据平行线分线段成比例及三角形的面积公式求得关于y与t的函数关系式；
（3）当PQ∥AB时，得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根据相似三角形的性质：对应线段成比例求得点P的坐标．
解答：
解：（1）由已知得OA=
=10，
当PQ∥AB时，
=
，
则：
=
，得：t=
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．则
=
，
=
，
∴PC=
t，y=
OQ•PC=
（16-2t）•
t=-
t2+
t；
∴y=-
t2+
t；
（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=
，∴OP=
，
∵
=
=
（其中AD=6，OA=10，OD=8）即
=
=
，
∴OC=
，PC=
，
∴P点坐标是（
，
）．
同理，当OPQ∽△OBA时，OC=
，PC=
∴P2（
，
）
P点的坐标是（
，
）或（
，
）
解：（1）由已知得OA=| 82+62 |
当PQ∥AB时，
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
则：
| t |
| 10 |
| 16-2t |
| 16 |
| 40 |
| 9 |
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．则
| PC |
| AD |
| OP |
| OA |
| PC |
| 6 |
| t |
| 10 |
∴PC=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∴y=-
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=
| 40 |
| 9 |
| 40 |
| 9 |
∵
| PC |
| AD |
| OP |
| OA |
| OC |
| OD |
| PC |
| 6 |
| ||
| 10 |
| OC |
| 8 |
∴OC=
| 32 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
∴P点坐标是（
| 32 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
同理，当OPQ∽△OBA时，OC=
| 512 |
| 105 |
| 128 |
| 35 |
∴P2（
| 512 |
| 105 |
| 128 |
| 35 |
P点的坐标是（
| 32 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
| 512 |
| 105 |
| 128 |
| 35 |
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例及勾股定理的应用．解答此题的关键是通过作辅助线PC⊥OB，AD⊥OB构造平行线PC∥AQ，然后利用平行线分线段成比例来求出相关线段的长度．
练习册系列答案
智能训练练测考系列答案
计算高手系列答案
相关题目
已知，如图：点A（1，1），点B在坐轴上，试以OA为边，使三角形OAB为等腰三角形，试在图中画这个等腰三角形并求点B的坐标．
已知，如图：点A（1，1），点B在坐轴上，试以OA为边，使三角形OAB为等腰三角形，试在图中画这个等腰三角形并求点B的坐标．