Question

如图，以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，当∠ADC=α（0°＜α＜90°）时，有以下结论：①∠GCF=180°-a；②∠HAE=90°+a；③HE=HG；④四边形EFGH是正方形；⑤四边形EFGH是菱形．则结论正确的是（　　）

A．①④

B．②⑤

C．①③⑤

D．②③④

Answer 1

分析：根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，
∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，

BF=AH=DH=CF ∠FBE=∠HAE=∠HDG=∠FCG BE=AE=DG=CG

，
∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，∴③④⑤正确；
即只有选项D正确．
故选D．

点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．