题目内容
如图，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE=x，BC=y．（1）当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF=2.5，求AE的长；
（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．
分析：（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．
解答：解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴
=
，
∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1
∴BE=4-x，
∴
=
，
∴y=-x2+4x（0＜x＜4）；
（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中，HC=
=
=3，
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴-x2+4x=4
解得：x1=x2=2，
∴AE=2；
（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4-x，
设AD=m，则DE=4-m，
∵∠A=90°，
∴DE2=AE2+AD2即，（4-m）2=x2+m2
∴m=
，
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴
=
=
=
∴C△BCE=
•C△ADE=
•(4+x)=8
∴△BCE的周长不变．
∴
| AD |
| BE |
| AE |
| BC |
∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1
∴BE=4-x，
∴
| 1 |
| 4-x |
| x |
| y |
∴y=-x2+4x（0＜x＜4）；
（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中，HC=
| DC2-DH2 |
| 52-42 |
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴-x2+4x=4
解得：x1=x2=2，
∴AE=2；
（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4-x，
设AD=m，则DE=4-m，
∵∠A=90°，
∴DE2=AE2+AD2即，（4-m）2=x2+m2
∴m=
| 16-x2 |
| 8 |
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴
| C△ADE |
| C△BCE |
| AD |
| BE |
| ||
| 4-x |
| 4+x |
| 8 |
∴C△BCE=
| 8 |
| 4+x |
| 8 |
| 4+x |
∴△BCE的周长不变．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的简单运用，能够熟练掌握相似三角形的性质并加以运用．
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