Question

已知三角形的三边的长a、b、c都是整数，且a≤b≤c，若b=7，则这样的三角形有________个．

Answer 1

28
分析：根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有7≤c＜7+a，对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，由分类计数原理，结合等差数列的前n项和公式，计算可得答案．
解答：根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，
根据三角形的三边关系，有7≤c＜7+a，
当a=1时，有7≤c＜8，则c=7，有1种情况，
当a=2时，有7≤c＜9，则c=7、8，有2种情况，
当a=3时，有7≤c＜10，则c=7、8、9，有3种情况，
当a=4时，有7≤c＜11，则c=7、8、9、10，有4种情况，
…
当a=7时，有有7≤c＜14，则c=7、8、9、10…13，有7种情况，
则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+7==28；
故答案为：28．
点评：本题考查合情推理与分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现a变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．