Question

1．用简便方法计算．
$\frac{2014}{2015}$×2016
$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{13}$$+\frac{5}{9}$×$\frac{2}{13}$$+\frac{5}{18}$×$\frac{6}{13}$
$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$$+\frac{1}{16}$$+\frac{1}{32}$$+\frac{1}{64}$
（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$）×（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{5}$）-（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{5}$）×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$．

Answer 1

分析 （1）2016=2015+1，再根据乘法分配律进行简算；
（2）根据积不变的性质，$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{13}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{5}{13}$，$\frac{5}{9}$×$\frac{2}{13}$=$\frac{2}{9}$×$\frac{5}{13}$，$\frac{5}{18}$×$\frac{6}{13}$=$\frac{6}{18}$×$\frac{5}{13}$，再根据乘法分配律进行简算；
（3）根据分数的拆项公式，$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，然后在再计算；
（4）后一个数的分母是前一个数的2倍，原式=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$）+（$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{32}$）+（$\frac{1}{32}$-$\frac{1}{64}$），再计算；
（5）另$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=a，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$=b，原式=（1+a）×b-b×a，然后再根据乘法分配律进行计算．

解答 解：（1）$\frac{2014}{2015}$×2016
=$\frac{2014}{2015}$×（2015+1）
=$\frac{2014}{2015}$×2015+$\frac{2014}{2015}$×1
=2014+$\frac{2014}{2015}$
=2014$\frac{2014}{2015}$；

（2）$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{13}$$+\frac{5}{9}$×$\frac{2}{13}$$+\frac{5}{18}$×$\frac{6}{13}$
=$\frac{1}{6}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{2}{9}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{6}{18}$×$\frac{5}{13}$
=（$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{6}{18}$）×$\frac{5}{13}$
=$\frac{13}{18}$×$\frac{5}{13}$
=$\frac{5}{18}$；

（3）$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$；

（4）$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$$+\frac{1}{16}$$+\frac{1}{32}$$+\frac{1}{64}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$）+（$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{32}$）+（$\frac{1}{32}$-$\frac{1}{64}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{32}$-$\frac{1}{64}$
=1-$\frac{1}{64}$
=$\frac{63}{64}$；

（5）另$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=a，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$=b；
（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$）×（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{5}$）-（1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{5}$）×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$
=（1+a）×b-b×a
=1×b+ab-ab
=b+（ab-ab）
=b
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$
=1+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）
=1+$\frac{5}{6}$+$\frac{9}{20}$
=1+（$\frac{5}{6}$+$\frac{9}{20}$）
=1+$\frac{77}{60}$
=2$\frac{17}{60}$．

点评 此题考查了简便运算，灵活运用运算技巧或运算定律进行简便计算．