题目内容

分母是2的真分数有:
1
2

分母是3的真分数有:
1
3
2
3
,它们的和是1.
分母是4的真分数有:
1
4
2
4
3
4
,它们的和是1
1
2

分母是5的真分数有:
1
5
2
5
3
5
4
5
,它们的和是2.

请你仔细观察,根据发现的规律,解答下面的问题:
①分母是2005的所有真分数的和是多少?
②分母不超过2005的所有真分数的和是多少?
分析:这些真分数的和是:
1
2
,1,1
1
2
,2,2
1
2
…这些数可以看成是首项是
1
2
,公差是
1
2
的等差数量;
①根据等差数列的通项公式,求出第2005项即可;
②根据等差数列的求和公式,求出前2005项的和即可.
解答:解:①
1
2
+(2005-1)×
1
2

=
1
2
+2004×
1
2

=
1
2
+1002,
=1002
1
2

答:分母是2005的所有真分数的和是1002
1
2


②(
1
2
+1002
1
2
)×2005÷2,
=1003×2005÷2,
=1005507.5;
答:分母不超过2005的所有真分数的和是1005507.5.
点评:本题考查了等差数列:通项公式是:an=a1+(n-1)d;前n项和公式为:Sn=n(a1+an)÷2.
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