Question

将1，2，3，4分别填入4×4的方格网（如图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中的4个数1，2，3，4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，从左上到右下的对角线上4个数的和是（　　）（左图是一个3×3的例子）

A．10

B．11

C．12

D．16

Answer 1

分析：先根据方格中数的大小关系，填出这个方格，再求从左上到右下的对角线上4个数的和是多少即可．

解答：解：（1）第三行的第二个方格里的数，周围都比它大，这个数只能是1或2：
若它为2，它上下的数只能分别是3或4中的一个，左右的数只能分别是3或4中的一个，因为第一列第四行的数字比第三行的数字大，所以第三行的第一个数字只能是3，
这一行的第三个数字就是4，第四个数字只能是1，这与第四个数字比它上面的数大相矛盾，不成立；所以第三行的第二个数字只能是1；
（2）第四行的第一列数字比它向上和向右的数字大，而且是连续的大于号，这个数就有可能是3或4：
①，若这个数字是3，第一列的第二个数和第三个数就分别是1和2；剩下的4就在第一列；
第四行的第二个数字和第三个数就是2和1，4就在第四列；
第一行4在第一位，那么剩下的数字只能按照3、2、1排列；即3在第二列，2在第三列，1在第四列；
第二列就有了数字3、1、2，剩下的4就在第2行；
第四列的第4个数字是4，第一个数字是1，那么第二个数字就是2，第3个数字就是3；
第二行中就有了1、4、2，3就在第三列；
第三行有了数字2、1、3，4就在第三列．
这样所有的方格都排上了数字，图如下：

检查数列可知完全符合要求；此时从左上到右下的对角线上4个数的和是：
4+4+4+4=16
②若第四行第一列的数字是4，也按照上述的方法讨论可得出的方格图为：

此时从左上到右下的对角线上4个数的和是：
3+2+3+2=10；
故选：A和D．

点评：根据题目要求对方格存在的可能性讨论，得出完整的方格图，再求解．