Question

15．特殊计算．
（1）对整数a、b定义一种新运算“▽”，a▽b等于由a开始的连续b个正整数的和，如2▽3=2+3+4=9，5▽4=5+6+7+8=26，则2▽[3▽（1▽5）]=11475．
（2）观察下面[]的运算方式：
[3.14]=3，[4]=4，[5.7685]=5，…
①若[x]=2013，符合这种运算方式的x的值为2013≤x＜2014；
②若[2013-$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$-…-$\frac{1}{2012×2013}$]=2012；
③若[x]=26，[y]=15，[z]=3，则[x-y-z]=6或7或8．

Answer 1

分析 （1）先根据定义新运算“▽”计算1▽5=1+2+3+4+5=15，再根据定义新运算“▽”计算3▽15=3+4+…+17=150，最后根据定义新运算“▽”计算2▽150=2+3+…+151，从而求解；
（2）①根据[x]是不超过x的正整数即可求解；
②先拆分抵消的方法求出2013-$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$-…-$\frac{1}{2012×2013}$，再根据[x]的定义即可求解；
③先确定x-y-z的范围，再根据[x]的定义即可求解．

解答 解：（1）2▽[3▽（1▽5）]
=2▽[3▽（1+2+3+4+5）]
=2▽[3▽15]
=2▽[3+4+…+17]
=2▽150
=2+3+…+151
=11475
（2）①若[x]=2013，符合这种运算方式的x的值为2013≤x＜2014；
②[2013-$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$-…-$\frac{1}{2012×2013}$]
=[2013-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-…-$\frac{1}{2012}$+$\frac{1}{2013}$]
=[2013-1+$\frac{1}{2013}$]
=[2012$\frac{1}{2013}$]
=2012
③因为[x]=26，[y]=15，[z]=3，
所以26≤x＜27，15≤y＜16，3≤z＜4，
所以6＜x-y-z＜9
所以[x-y-z]=6或7或8．
故答案为：11475；2013≤x＜2014，2012，6或7或8．

点评 考查了定义新运算，解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．