Question

已知：1×2×3×4×…×1998=21ⁿ×a
其中：21ⁿ表示有n个21连乘，a是自然数，求n的最大值．

Answer 1

分析：因为21=7×3，由此我们可分7和3两种情况来进行分析：
用[]表示一个数的整数部分，这1998个因数中，7的倍数有[1998÷7]=285个，就是说有：7×1，7×2，7×3…7×285=1995，共285个，则这285个因数中，7×7的倍数共有：[285÷7]=40个；在这40个因数中，7×7×7的倍数有[40÷7]=5个，所以，原题左式中有质因数7的个数：285+40+5=330个．
同理可法推出，原题左式有质因数3的个数为：666+222+74+24+8+2=996个．
因为996＞330所以，原因中有330个因数21，即n的最大值是330．

解答：解：21=3×7，
则这1998个因数中，7的倍数有：
[1998÷7]=285个，
7×7的倍数共有：[285÷7]=40个，
7×7×7的倍数有[40÷7]=5个，所以，原题左式中有质因数7的个数：285+40+5=330个．
又显然这1998个因数中含有3的约数个数多于含有7的约数个数，
所以，原因数中有330个因数21，
即n的最大值是330．

点评：首先将21分解质因数，然后根据其质因数的情况进行分析解答是完成本题的关键．