Question

16．证明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．

Answer 1

分析 根据题意，假设这四个连续的正整数分别是n、n+1、n+2、n+3，把这个四个数相乘后再加上1，即n（n+1）（n+2）（n+3）+1，然后n与n+3相乘，n+1与n+2相乘，可得=[n²+3n]×[n²+3n+2]+1，再把n²+3n看作一个整体，然后再相乘可得=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1，根据平方和公式，可得（n²+3n+1）²，（n²+3n+1）²是一个平方数，所以比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方，据此证明．

解答 解：假设这四个连续的正整数分别是n、n+1、n+2、n+3；
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=[n（n+3）]×[（n+1）（n+2）]+1
=[n²+3n]×[n²+3n+2]+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²；
所以，比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．

点评 本题关键是设出连续的4个正整数，再把代数式化成平方数的形式，然后再进一步解答．