题目内容

如图纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如图四个圆在纸上盖住的总面积是4S-7，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，两圆重叠的阴影部分的面积依次为S₁，S₂，S₃，且满足S₃= $数学公式$ S₁= $数学公式$ S₂，求S．

解：由分析可得：
4S-7=4S-S₁-S₂-S₃，
则S₁+S₂+S₃=7①，
再由S₃= $\text{[math]}$ S₁= $\text{[math]}$ S₂可得：S₁=S₂=3S₃②，
将②代入①得：
3S₃+3S₃+S₃=7，
      7S₃=7，
        S₃=1，
所以S₁=S₂=3；
又因2S- $\text{[math]}$ S₁-S₂- $\text{[math]}$ S₃=8，
即：2S-5S₃=8，
      2S-5=8，
        2S=13，
         S= $\text{[math]}$ ；
答：S是 $\text{[math]}$ ．
分析：观察图形可以得到四个圆之间的位置关系，根据重叠部分的面积可以列出一个方程4S-7=4S-S₁-S₂-S₃，近而得出S₁+S₂+S₃=7；然后由S₃= $\text{[math]}$ S₁= $\text{[math]}$ S₂可得：S₁=S₂=3S₃，于是求出S₃的值，也就能求出S₁、S₂的值；又由“直线m，n之间被圆盖住的面积是8”可得2S- $\text{[math]}$ S₁-S₂- $\text{[math]}$ S₃=8，从而得到S的值．
点评：本题考查的是圆与圆的位置关系，根据题意结合图形用代入解方程即可求出S的值．