题目内容

如图纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是A,B,C,D,直线m通过A,B,直线n通过C,D,用S表示一个圆的面积,如图四个圆在纸上盖住的总面积是4S-7,直线m,n之间被圆盖住的面积是8,两圆重叠的阴影部分的面积依次为S1,S2,S3,且满足S3=
1
3
S1=
1
3
S2,求S.
分析:观察图形可以得到四个圆之间的位置关系,根据重叠部分的面积可以列出一个方程4S-7=4S-S1-S2-S3,近而得出S1+S2+S3=7;然后由S3=
1
3
S1=
1
3
S2可得:S1=S2=3S3,于是求出S3的值,也就能求出S1、S2的值;又由“直线m,n之间被圆盖住的面积是8”可得2S-
1
2
S1-S2-
1
2
S3=8,从而得到S的值.
解答:解:由分析可得:
4S-7=4S-S1-S2-S3
则S1+S2+S3=7①,
再由S3=
1
3
S1=
1
3
S2可得:S1=S2=3S3②,
将②代入①得:
3S3+3S3+S3=7,
       7S3=7,
        S3=1,
所以S1=S2=3;
又因2S-
1
2
S1-S2-
1
2
S3=8,
即:2S-5S3=8,
      2S-5=8,
        2S=13,
         S=
13
2

答:S是
13
2
点评:本题考查的是圆与圆的位置关系,根据题意结合图形用代入解方程即可求出S的值.
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