Question

17．如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．
（1）填表：

剪的次数	1	2	3	4	5	6
正方形个数

（2）如果剪20次，共剪出多少个小正方形？
（3）观察图形，你还能得出什么规律？

Answer 1

分析 （1）由图形可以看出，每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪．所以在4的基础上，依次多3个．即剪n次，共有4+3（n-1）=3n+1（个）正方形．据求出剪1、2、3、4、5、6次所剪出的正方形的个数填表即可．
（2）根据以上规律，可以求出当n=20时，共剪出多少个小正方形． 
（3）可以根据每次剪出的小正方形的面积与上一次正方形的边长、面积的关系找规律．

解答 解：当n=1时，3×1+1=4（个）；
当n=2时，3×2+1=7（个）；
当n=3时，3×3+1=10（个）；
当n=4时，3×4+1=13（个）；
当n=5时，3×5+1=16（个）；
当n=6时，3×3+1=19（个）．
根据以上计算结果填表如下：

剪的次数	1	2	3	4	5	6
正方形个数	4	7	10	13	16	19

（2）3×20+1=61（个）
答：如果剪20次，共剪出61个小正方形．
（3）答：根据图形，还可以发现：每个小正方形的边长都是上一次的一半，面积是上一次的正方形的面积的$\frac{1}{4}$．

点评 解答此题的关键是找规律，再根据规律解答．