Question

【题目】将自然数从1开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，请问：

（1）第30个拐点处的数是多少？

（2）前30个拐点处的各数之和是多少？

Answer 1

【答案】（1）241．（2）2630．

【解析】

试题分析：第1个拐点处的数是1+1=2，第3个拐点处的数是1+1+3=5，第5个拐点处的数是1+1+3+5=10，…，可得当n为奇数时，第n个拐点处的数是：1+（1+3+5+…+n）；第2个拐点处的数是1+2×1=3，第4个拐点处的数是1+2×（1+2）=7，…，可得当n为偶数时，第n个拐点处的数是：1+2×（1+2+3+…+）；

（1）第30个拐点处的数是：1+2×（1+2+3+…+15），据此解答即可；

（2）分别求出第1、2个，第3、4个，…、第29、30个的拐点处的个数之和；然后相加，求出前30个拐点处的各数之和是多少即可．

解：根据分析，可得

当n为奇数时，第n个拐点处的数是：1+（1+3+5+…+n）；

当n为偶数时，第n个拐点处的数是：1+2×（1+2+3+…+）；

（1）第30个拐点处的数是：

1+2×（1+2+3+…+15）

=1+2×120

=241；

答：第30个拐点处的数是241．

（2）根据n为奇数、偶数时，第n个拐点处的数的表达式，可得

第1个、第2个拐点处的数的和是：1+1+（1+2）=5，

第3、4个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4）=12，

第5、6个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6）=23，

第7、8个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6+7+8）=38，

…，

第29、30个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+…+29+30）=467，

因为12﹣5=7，23﹣12=11=7+4，38﹣23=15=11+4，…，

所以每个和与它前面的和的差分别是7、11、15、…，

它是一个首项是7，公差是4的等差数列，

因此前30个拐点处的各数之和是：

5+12+23+38+57+80+107+138+173+212+255+302+353+408+467=2630．

答：前30个拐点处的各数之和是2630．