Question

下图中直角三角形ABC的面积81平方厘米，过三角形ABC内的P点作三条边的平行线，且AD：DE：EC=2：3：4．求图中阴影面积的和．

Answer 1

分析：观察图形，NE∥BC，所以∠DPE=∠PGH，∠DEP=∠C；又因为DG∥AB，所以∠PGH=∠B，所以∠DPE=∠B，由此可得三角形DPE与三角形ABC相似，相似比是DE：AC=3：（2+3+4）=1：3，因为相似三角形的面积之比等于相似比的平方，所以它们的面积之比是1：9，已知三角形ABC的面积是81平方厘米，所以三角形DPE的面积是：81÷9=9平方厘米，同理可以退出三角形DPE和三角形MNP、和三角形PGH相似，利用平行新发现的定理即可求出它们的相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出三角形MNP和三角形PGH的面积，最后把三个三角形的面积加起来即可得出阴影部分的面积．

解答：解：NE∥BC，所以∠DPE=∠PGH，∠DEP=∠C；
又因为DG∥AB，所以∠PGH=∠B，所以∠DPE=∠B，
由此可得三角形DPE与三角形ABC相似，因为AD：DE：EC=2：3：4．
所以它们的相似比是DE：AC=3：（2+3+4）=1：3，则三角形DPE与三角形ABC的面积之比是1：9，
所以三角形DPE的面积是：81÷9=9（平方厘米），
同理，不难推出三角形DPE和三角形MNP、，相似比是：PE：NP=DE：AD=3：2；
所以面积之比是9：4，所以三角形MNP的面积是：9÷9×4=4（平方厘米），
同理，三角形DPE和三角形PGH也相似，相似比是：DP：PG=DE：EC=3：4，
所以三角形PGH的面积是9÷3×4=12（平方厘米），
9+4+12=25（平方厘米厘），
答：阴影部分的三角形的面积之和是25平方厘米．

点评：此题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定、相似三角形的面积之比等于相似比的平方的灵活应用．