Question

14．如图，在圆周上有一些点，顺次用线段连接每隔开一个点的所有两点，结果通过圆周上所有的点，并且最后回到了原来的出发点．这样得到的图形的各个尖出的角（图中的部分）的和是2700°．请问：圆周上有多少个点？

Answer 1

分析 如图，假设有n个顶点，这n个顶点都是均匀分布，在内部就构成一个正n边形，由n内个角，∠1就是其中1个，根据正n边形每个角的度数是$\frac{（n-2）×180°}{n}$，所以∠1=180°-$\frac{360°}{n}$，每个小三角形都是等腰三角形，根据∠1与∠2、∠3的关系，求出用含有字母n表示的∠3的度数，有已知条件n∠3=2700°，解方程即可求得未知数m，即顶点的个数．

解答 解：如图，

假设有n个点，为方便计算，假设它们均匀分布
则内部构成一个正n边形
因为∠1=180°-$\frac{360°}{n}$
所以∠2=$\frac{360°}{n}$
所以∠3=180°-2∠2=180°-$\frac{720°}{n}$
所以n∠3=n180°-720°

由题意可知n∠3=2700° 
        即n180°-720°=2700°
n180°-720°+720°=2700°+720°
                            n180°=3420°
                  n180°÷180°=3420°÷180°
                                   n=19
答：圆周上有19个点．

点评 此题属于奥数类题型，对一般学生来说，难度较大．关键弄清分别连结1、3、5，2、4、6…通过连结，这些点的个数在内部形成一个与点的个数相同的多边形，再根据多边形每个内角的度数及已知条件解答．