题目内容

已知两个自然数的和是60,他们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求这两个自然数各是多少?
分析:首先假设出这个两数,得出有关两数和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84的两个方程,再进行分析得出符合要求的取值.
解答:解:设所求二数为x,y,且(x,y)=d,令x=ad,y=bd,则(a,b)=1.
根据题意有
a+b=
60
d
1+ab=
84
d

由于(60,84)=12,
所以d=l,2,3,4,6,12.
而当d:1,2,3,4,6时,方程组无解.
当d=12时,方程组变为
a+b=5
ab=6

解得
a=2
b=3
a=3
b=2

故所求的两数为x=24,y=36.
答:这两个自然数为24和36.
点评:此题主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质,正确的出d的取值是解决问题的关键.
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