Question

16．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立（　　）

• A． 有内切圆无外接圆
• B． 有外接圆无内切圆
• C． 既有内切圆，也有外接圆
• D． 以上情况都不对

Answer 1

分析 根据切线长定理，四边形有内切圆时，四边形的对边之和相等，根据圆的外接四边形的性质可以得到，四边形如果是外接圆，四边形的对角和应是180°．

解答 解：

如图：因为⊙o₁与⊙o₂是等圆，所以相交的两段弧AB相等，则：∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
连接O₁M，O₁C，O₂N，O₂C，
∵∠O₁MC=∠O₂NC=90°，
在直角△O₁MC和直角△O₂NC中，O₁M=O₂N，∠MO₁C＜∠NO₂C，
∴MC≠NC
∴AM+NC≠AN+MC，
所以四边形AMCN没有内切圆．
连接AB，则∠CMN=∠MAB，∠CNM=∠NAB，
在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°
∴∠CMN+∠CNM+∠AMN+∠ANM=180°
即∠AMC+∠ANC=180°
所以四边形AMCN有外接圆；
故选：B．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，根据两等圆相交得到AM=AN，再由切线的性质得到直角三角形，再直角三角形中判断CM、CN的大小，得到四边形的对边和不等，确定四边形没有内切圆；根据弦切角定理和三角形的内角和得到四边形的对角互补，确定四边形有外接圆．