Question

德国数学康托尔构造的这个图形叫分形，称做康托尔集．从长度为1的线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限量地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．图中是康托尔集的最初几个阶段，当达到第六个阶段时，余下的所有线段的长度之和为

 

．

Answer 1

考点：数与形结合的规律

专题：探索数的规律

分析：易得第一次操作后余下的线段为1-

1

3

，进而得到每次操作后有几个1-

1

3

的积，即可得到第六次操作时，余下的所有线段的长度之和．

解答： 解：第一次操作后余下的线段之和为1-

1

3

，
第二次操作后余下的线段之和为（1-

1

3

）²，
…
第六次操作后余下的线段之和为（1-

1

3

）⁶=

64

729

，
故答案为：

64

729

．

点评：考查图形的变化规律；得到第n次操作后有n个

2

3

是解决本题的关键．