题目内容
已知对任意正整数n，都有公式：12+22+…+n2=
，求分数
化成最简分数后的分母．
| n×(n+1)×(2n+1) |
| 6 |
| 12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002) |
| 100! |
考点：繁分数的化简
专题：计算问题（巧算速算）
分析：首先把分数
化简，然后分别找出分母、分子中因数2、3的个数，进而求出化成最简分数后的分母即可．
| 12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002) |
| 100! |
解答：
解：根据题意，可得12=
，12+22=
，12+22+32=
，…12+22+…+n2=
，
所以
=
×
×
×…×
×
=
=
=
分子中2×4×6×…×100含有97个因数2，22个因数3，
分子中3×5×7×…×101含有26个因数3，
分子中3×5×7×…×201含有50个因数3，
所以分子中一共含有97个因数2，98个因数3，分母中一共含有100个因数2，100个因数3，
因此分子、分母约分后分母还有3个因数2，2个因数3，
由2×2×2×3×3=72，
可得分数
化成最简分数后的分母是72．
| 1×2×3 |
| 6 |
| 2×3×5 |
| 6 |
| 3×4×7 |
| 6 |
| n×(n+1)×(2n+1) |
| 6 |
所以
| 12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002) |
| 100! |
=
| 1×2×3 |
| 6 |
| 2×3×5 |
| 6 |
| 3×4×7 |
| 6 |
| n×(n+1)×(2n+1) |
| 6 |
| 1 |
| 100! |
=
| (1×2×…100)×(2×3×…×101)×(3×5×…×201) |
| 6100?100! |
=
| (2×3×…×101)×(3×5×…×201) |
| 6100 |
=
| (2×4×6×…×100)×(3×5×…×101)×(3×5×…×201) |
| 6100 |
分子中2×4×6×…×100含有97个因数2，22个因数3，
分子中3×5×7×…×101含有26个因数3，
分子中3×5×7×…×201含有50个因数3，
所以分子中一共含有97个因数2，98个因数3，分母中一共含有100个因数2，100个因数3，
因此分子、分母约分后分母还有3个因数2，2个因数3，
由2×2×2×3×3=72，
可得分数
| 12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002) |
| 100! |
点评：此题主要考查了繁分数的化简的应用，解答此题的关键是求出分母、分子中因数2、3的个数．
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