Question

从自然数1-12中选取7个不同的数字，使其和是3的倍数，请问有

 

种不同的选法．

Answer 1

考点：排列组合

专题：可能性

分析：1--12这12个数的和是（1+12）×12÷2=78，是3的倍数，所以将其中任意大于等于3的数减去3或6或9或12，和仍然是3的倍数，所以这12个数也可以表示为0、1、2、0、1、2、0、1、2、0、1、2，选取7个不同的数字，和是3的倍数，那剩下的5个数字也是3的倍数，符合题意的有：2+2+2+2+1=9，2+2+2+0+0=6，2+2+1+1+0=6，2+1+1+1+1=6，2+1+0+0+0=3，1+1+1+0+0+0=3共6种情况，然后求出每种情况中能组合成的种数，再相加即可解答．

解答： 解：根据分析可知：
（1）2+2+2+2+1=9，从4个能写成2的数中任选四个，只有一种可能，从4个能写成1的数中任选1个有4种可能，所以有4种不同的选法；
（2）2+2+2+0+0=6，从4个能写成2的数中任选3个，即去掉1个，有4种可能，从4个能写成0的数中任选2个有6种可能，所以有4×6=24种不同的选法；
（3）2+2+1+1+0=6，从4个能写成2的数中任选2个，有6种可能，从4个能写成1的数中任选2个有6种可能，从4个能写成0的数中任选1个，有4种可能，所以有6×6×4=144种不同的选法；
（4）2+1+1+1+1=6，从4个能写成2的数中任选1个，有4种可能，从4个能写成1的数中选4个有1种可能，所以有4种不同的选法；
（5）2+1+0+0+0=3，从4个能写成2的数中任选1个，有4种可能，从4个能写成1的数中任选1个有4种可能，从4个能写成0的数中任选3个有4种可能，所以有4×4×3=48种不同的选法；
（6）1+1+1+0+0=3，从4个能写成1的数中任选3个，有4种可能，从4个能写成0的数中任选2个有6种可能，所以有4×6=24种不同的选法；
共有4+24+144+4+48+24=240种不同的选法．
故答案为：248．

点评：本题主要考查组合问题，解题关键是理解3的倍数减去3仍然是3的倍数，写成最简单的形式，写出所有的可能性，注意要按照一定的顺序，做到不重不漏．