Question

已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：根据题意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，因为14=2×7，350=2×7×5²，所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；然后分类讨论，求出满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组即可．

解答： 解：根据题意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350，
因为14=2×7，350=2×7×5²，
所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；
（1）当a=14时，b=14或b=14×5=70或b=14×25=350，
因为a与b的最大公约数是14，
（2）所以当a=70，350时，b都只能取14，
则满足条件的a、b共有5组：
a=14，b=14； a=14，b=70；a=14，b=350；a=70，b=14； a=350，b=14；
对于a、b的每组值，c均有4个不同的值：
25，50，175，350．
所以满足条件的正整数a、b、c共有：5×4=20（组）
答：满足上述条件的正整数a，b，c共有20组．

点评：此题主要考查了公约数和公倍数问题的应用，解答此题的关键是弄清题意，找出各个数之间的关系．