题目内容

如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形并解答有关问题.

(1)按以上的规律依次铺下去,铺设第四个长方形地面共用
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块白瓷砖;
(2)假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖,那么它是第
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块长方形地面.
(3)若白瓷砖每块4元,黑瓷砖每块3元,在问题(2)中购买瓷砖共需花多少元?
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请说明理由.
分析:(1)第一个长方形用白瓷砖:4×3-2×l; 第二个长方形用白瓷砖:5×4-3×2; 第三个长方形用白瓷砖:6×5-4×3;白瓷砖的个数为地面中瓷砖的总数减去黑瓷砖的个数.所以第n个长方形有黑瓷砖(n+1)×n块,
白瓷砖:(n+3)×(n+2)-(n+1)n=4n+6块;
(2)第一个长方形一共有4×3块瓷砖,第二个长方形一共有5×4块瓷砖,第三个长方形一共有6×5块瓷砖,那么第n个长方形一共有(n+3)×(n+2)块瓷砖,也就是瓷砖的列数比行数多1,求出哪两个自然数的积是72,进而求解;
(3)根据(2)得出的结果,求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块,分别乘上它们的单价再相加即可;
(4)先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形,根据黑、白瓷砖数量相等,看是否得到n的整数解即可.
解答:解:(1)第四个长方形用白瓷砖:
4×4+6=22(块);
答:铺设第四个长方形地面共用 22块白瓷砖;


(2)设第n个长方形地面共用了72块瓷砖,由题意得:
(n+3)×(n+2)=72.
因为:72=8×9,
所以n+3=9,n+2=8,
那么n=6;

答:长方形地面共用了72块瓷砖.


(3)这个长方形中黑瓷砖:6×7=42(块);
白瓷砖:72-42=30(块);
共花费:
3×42+30×4,

=126+120,
=246(元);

答:购买瓷砖共需花246元.


(4)设第n个长方形黑瓷砖与白瓷砖块数相等,则:

n(n+1)=4n+6,
 n2-3n-6=0,
此时没有整数解,
所以不存在.
故答案为:22,6.
点评:本题考查图形的变化规律;得到白瓷砖的块数与图形序号的关系是解决本题的关键;注意白瓷砖的块数等于瓷砖总数与黑瓷砖块数的差.
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