Question

如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形并解答有关问题．

（1）按以上的规律依次铺下去，铺设第四个长方形地面共用

22

块白瓷砖；
（2）假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖，那么它是第

6

块长方形地面．
（3）若白瓷砖每块4元，黑瓷砖每块3元，在问题（2）中购买瓷砖共需花多少元？
（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）第一个长方形用白瓷砖：4×3-2×l； 第二个长方形用白瓷砖：5×4-3×2； 第三个长方形用白瓷砖：6×5-4×3；白瓷砖的个数为地面中瓷砖的总数减去黑瓷砖的个数．所以第n个长方形有黑瓷砖（n+1）×n块，
白瓷砖：（n+3）×（n+2）-（n+1）n=4n+6块；
（2）第一个长方形一共有4×3块瓷砖，第二个长方形一共有5×4块瓷砖，第三个长方形一共有6×5块瓷砖，那么第n个长方形一共有（n+3）×（n+2）块瓷砖，也就是瓷砖的列数比行数多1，求出哪两个自然数的积是72，进而求解；
（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；
（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．

解答：解：（1）第四个长方形用白瓷砖：
4×4+6=22（块）；
答：铺设第四个长方形地面共用 22块白瓷砖；


（2）设第n个长方形地面共用了72块瓷砖，由题意得：
（n+3）×（n+2）=72．
因为：72=8×9，
所以n+3=9，n+2=8，
那么n=6；

答：长方形地面共用了72块瓷砖．


（3）这个长方形中黑瓷砖：6×7=42（块）；
白瓷砖：72-42=30（块）；
共花费：
3×42+30×4，

=126+120，
=246（元）；

答：购买瓷砖共需花246元．


（4）设第n个长方形黑瓷砖与白瓷砖块数相等，则：

n（n+1）=4n+6，
 n²-3n-6=0，
此时没有整数解，
所以不存在．
故答案为：22，6．

点评：本题考查图形的变化规律；得到白瓷砖的块数与图形序号的关系是解决本题的关键；注意白瓷砖的块数等于瓷砖总数与黑瓷砖块数的差．