Question

将一块边长为12cm的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，则剪成的正方形铁皮的面积的最大值是 ．

1. A.
   100.55
2. B.
   110.25
3. C.
   99.05
4. D.
   111.25

Answer 1

B
分析：将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮（如图）剪成一块无缺损的正方形铁皮，要考虑剪去的最少，还要求仍然是正方形，则有下列剪法是比较大的，其他剪法更小．分别求出三种情况下剪成的正方形铁皮的面积，比较大小，求出最大值，即可得解．
解答：如图1所示，使A′B=BC′=C′D′=D′A′=12-3=9（厘米），则正方形A′BC′D′的面积为9×9=8l（平方厘米）．
如图2所示，使AA′=BB′=CC′=DD′=3（厘米），则正方形A′B′C′D′的面积为
12×12-4××3×（12-3）=90（平方厘米）．
如图3所示，连接AC交曲线于点A′，使A′B′=B′C=CD′=D′A′．观察图3可知
A′B′=12-1.5=10.5（厘米）．（注：A′B′的长度在（10.5士0.2）厘米之间均可．连接AC与缺损的边缘交与A'点，过A'分别作AB和AD的平行线A'B'和A'D'，A'D'延长与AB交与一点H，A'H是缺损三角形的中位线，根据中位线的性质，同样平分另一边，因此AH的长是3除以2等于1.5，A'B'=BH=AB-AH=12-1.5=10.5，当然，这只是一个近似值）
于是正方形A′B′CD′的面积为10.5×10.5=110.25（平方厘米）．

因为81＜90＜110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．
答：剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米．
故选：B．
点评：此题考查了最大和最小问题，剪成的正方形铁皮的面积最大，则材料的应用最节约．在生活实际中要求我们要多动脑筋．