Question

【题目】已知实数，函数(x∈R).

(1) 求函数的单调区间；

(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）a＝27

【解析】

(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论确定函数的单调区间即可；

(2)由题意得到关于a的方程，解方程求得实数a的值，然后检验是否符合题意即可.

(1)∵f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，

∴f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.

当a>0时，函数f(x)的单调增区间是，(2，＋∞)；单调减区间是.

当a<0时，函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是，(2，＋∞).

(2)∵f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，而

∴当x＝时，f(x)取得极大值32，即a2＝32，∴a＝27.

当a＝27时，由(1)知，f（x）在增，在递减，符合题设.