题目内容
【题目】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【答案】
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(2) x=3,9,13.
(3) x=12,26,33,45.
【解析】(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1) x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26
=45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45.
