题目内容
（2009?中山市）有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大可能是
101
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．分析：由题中4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数，这样，讨论4个数的最大公约数的问题可以转化为讨论1111的约数问题．在此基础上来确定这4个数，使他们的和为1111且最大公约数为最大．
解答：解：因为1111=101×11，其约数有1，11，101，1111．显然1111不符合要求，
再考虑约数101，由于1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5．
如果取101，101×2，101×3，101×5这4个数，就满足题目的要求其和为1111且他们的最大公约数为101．
（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以满足条件的4个数并不唯一）．
故答案为：101．
再考虑约数101，由于1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5．
如果取101，101×2，101×3，101×5这4个数，就满足题目的要求其和为1111且他们的最大公约数为101．
（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以满足条件的4个数并不唯一）．
故答案为：101．
点评：此题主要考查约数定理的灵活应用，关键是明确要使这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数．
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