y=ln2x+2lnx+2的极小值为( ) A.e-1 B.0 C.-1 D.1——青夏教育精英家教网—

2.y=ln²x+2lnx+2的极小值为(　 )　 A.e^－1B.0　 C.－1　　　 D.1

1.函数y=x³－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为(　 )

A.0　　　　　　　　 B.1 　　　　　C.2　　　　　　　 D.4

1.3.2利用导数研究函数的极值

(第一课时)

学习目标：
掌握求可导函数的极值的步骤

学习重点难点：
掌握求可导函数的极值的步骤

自主学习
一、知识回顾：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间

二、新课探究
1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f(x)＜f(x₀)，就说f(x₀)是函数f(x)的一个极大值，记作y_极大值=f(x₀)，x₀是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f(x)＞f(x₀).就说f(x₀)是函数f(x)的一个极小值，记作y_极小值=f(x₀)，x₀是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值

请注意以下几点：
(ⅰ)极值是一个局部概念

由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

(ⅱ)函数的极值不是唯一的

即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系

即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

4. 判别f(x₀)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
　(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

三、例题解析：
例1求y=x³－4x+4的极值

解：y′=(x³－4x+4)′=x²－4=(x+2)(x－2)

　令y′=0，解得
x₁=－2，x₂=2

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

	-2	(-2,2)	2
+	0	－	0	+
↗	极大值	↘	极小值	↗

∴当x=－2时，y有极大值且y_极大值=　当x=2时，y有极小

值且y_极小值=－

例2求y=(x²－1)³+1的极值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：y=6x(x²－1)²=6x(x+1)²(x－1)²令y′=0解得x₁=－1，x₂=0，x₃=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1
－	0	－	0	+	0	+
↘	无极值	↘	极小值0	↗	无极值	↗

∴当x=0时，y有极小值且y_极小值=0

求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x).第二，令f′(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否