5．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后

经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送

入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P

点(如图1所示)．则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行

时，以下说法正确的是　　　　　　　　　　　　　 (　) 　　　　图1

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

解析：卫星在半径为r的轨道上运行时，速度v＝ ，可见轨道半径r越大，

运行速度越小，由v＝ωr可得ω＝ ，r越大，ω越小，A、B均错；卫星的向

心加速度由万有引力产生，在不同的轨道上运动时，由a＝知，在同一点它们的

加速度是相同的，故C错D正确．

答案：D

4．(2010·汕头模拟)有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近

行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则以下说法不正确的

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．该行星的半径为

B．该行星的平均密度为

C．无法测出该行星的质量

D．该行星表面的重力加速度为

解析：由T＝可得：R＝，A正确；由＝m可得：M＝，C错误；

由M＝πR³·ρ得：ρ＝，B正确；由＝mg得：g＝，D正确．

答案：C

3．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的

某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢

增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．双星相互间的万有引力减小

B．双星做圆周运动的角速度增大

C．双星做圆周运动的周期增大

D．双星做圆周运动的半径增大

解析：距离增大万有引力减小，A正确；由m₁r₁ω²＝m₂r₂ω²及r₁+r₂＝r得，r₁＝，

r₂＝，可知D正确；F＝G＝m₁r₁ω²＝m₂r₂ω²，r增大F减小，r₁增大，

故ω减小，B错；由T＝知C正确．

答案：B

2．(2009·安徽高考)2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－

33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫

星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块

碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是

(　)

A．甲的运行周期一定比乙的长

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的加速度一定比乙的大

解析：万有引力提供碎片做圆周运动的向心力，＝m，解得v＝ ，因

为甲的速率较大，所以甲的轨道半径较小，B错误．根据周期公式T＝＝2π

可知，甲的运行周期较小，所以A错误．根据加速度公式a＝可知甲的加速度较

大，所以D正确．因甲、乙碎片质量未知，不能确定甲、乙向心力的大小关系，所

以C错误．

答案：D

1．(2010·佛山模拟)2009年8月25日韩国用运载火箭“罗老号”将一颗近地科学技术

卫星送入太空，卫星未能进入预定轨道已坠毁；我国于2009年8月31日发射的“帕

拉帕－D”同步卫星，于2009年9月1日在近地点进行了成功变轨，则关于两卫星

的说法不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．“帕拉帕－D”近地点变轨前后，其轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值

　　 不变

B．两卫星的设计轨道半长轴的三次方与设计周期二次方比值相同

C．韩卫星坠毁过程中，卫星所受万有引力大于其做圆周运动所需向心力

D．“帕拉帕－D”近地点变轨前后，万有引力对卫星做负功，卫星机械能不变

解析：由开普勒行星运动定律易知A、B正确；韩卫星在坠毁过程中，卫星做向心运

动，则卫星所受万有引力大于其做圆周运动所需向心力，C正确；“帕拉帕－D”近

地点变轨过程中，万有引力对卫星做负功，机械能增加，D项错误；综上所述只有D

项符合题意．

答案：D

(三)解答题

13、要使不等式≤对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？

14、解关于x的不等式

15、已知a≠0，求证：≥

16、已知不等式对n∈N₊都成立，试求实数a的取值范围。

17、若a是正实数，2a²+3b²=10，求的最值。

18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？

(二)填空题

9、设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f(x)=的最小值是______。

　　 10、周长为的直角三角形面积的最大值为__________。

　　 11、记S=，则S与1的大小关系是__________。

12、不等式|x²-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。

(一)选择题

1、“a>0且b>0”是“≥”的

A、充分而非必要条件　　 B、必要而非充要条件　　 C、充要条件　　　 　 D、既非充分又非必要条件

2、设a<0，则关于x的不等式42x²+ax-a²<0的解集为

A、()　　 　　　 B、()　 　　　　 C、()　　 　 D、φ

3、若0<a<b且a+b=1，则四个数，b，2ab，a²+b²中最大的是

A、　 　　　　　　　　　 B、b　　　　　　 　　　 C、2ab　　　　　 　 D、a²+b²

4、已知x>0，f(x)=，则

A、f(x)≤2　　　 　　　 B、f(x)≥10　　　 　　　 C、f(x)≥6　　　 　 D、f(x)≤3

5、已知，(a>2)，则

A、　 p>q　　　　　 　　　 B、p<q　　　　　　 　　　 C、p≥q　　　　　 　 D、p≤q

6、若|a-c|<h， |b-c|<h，则下列不等式一定成立的是

A、　 |a-b|<2h　　　 　　　 B、|a-b|>2h　　　 　　　 C、|a-b|<h　　　 　 D、|a-b|>h

7、关于x的方程9^x+(a+4)·3^x+4=0有解，则实数a的取值范围是

A、　 (-∞，-8]∪[0，+∞)　　　　　 　　　　　　 B、(-∞，-4)

B、　 [-8，4)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 D、(-∞，-8]

8、若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2-4a²-b²的最大值是

A、　 　　　　　　　 B、　　　　 　　　 C、　　　　 　 D、

2、本题还可用线性规划知识求解。

例2、　 设a>0，b>0，求证：≥。

解题思路分析：

法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

左-右=

　　 ≥0

∴ 左≥右

法二：基本不等式

根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。

∵ ≥

　 ≥

∴ 两式相加得：≥

例3、　 设实数x，y满足y+x²=0，0<a<1，求证：≤。

解题思路分析：

∵ ≥，≤，0<a<1

∴ ≥

∴ ≥

∴ ≤

说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。

例4、已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。

解题思路分析：

法一：直接利用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立

说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。

法二：消元为一元函数

途径一：由得

∴

∵ x>0，y>0，a>0

∴ 由>0得y-b>0

∴ x+y≥

当且仅当，即时，等号成立

途径二：令，，∈(0，)

∴ ，

∴ x+y=≥

当且仅当时，等号成立

说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。

例5、已知f(x)=-3x²+a(6-a)x+b

(1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1，3)时，求实数a，b的值。

解题思路分析：

(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a²+6a+b-3

　∵ f(1)>0

　∴ a²-6a+3-b<0

△=24+4b

当b≤-6时，△≤0

∴ f(1)>0的解集为φ；

当b>-6时，

∴ f(1)>0的解集为

　 (2)∵ 不等式-3x²+a(6-a)x+b>0的解集为(-1，3)

∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解

∵ 3x²-a(6-a)x-b<0解集为(-1，3)

∴

解之得

例6、设a，b∈R，关于x方程x²+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：

|α|<1，|β|<1。

解题思路分析：

在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。

法一：令f(x)=x²+ax+b

则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

　 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1

∴ -1<a<1

∴

∴ f(x)=0的两根在(-1，1)内，即|α|<1，|β|<1

法二：∵α+β=-a，αβ=b

∴ |α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1

∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1

∴(|α|-1)(|β|+1)<0

∵ |β|+1>0

∴ |α|<1

同理：|β|<1

说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。

例7、某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？

解题思路分析：

设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm

显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适

当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x

∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)

∴ 当x>0时，P(x)<Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适

当x=10时，此时两种出租车任选

2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。