2010.四川省自贡市 第二节：句型转换 ，满分2分)

3.设集合,，函数

(1)设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围；

(2)若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域；

(3)当时，证明

答案：(1)　　　　 (2)

(3)因为对称轴，

故只需证明，，即可

2.已知，求函数的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的的值

答案：时，取最大值13；时，取最小值6

1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

由题意：P+Q= (0≤x≤60)

设t=,则0≤t≤,x=60-t

P+Q=(60-t)+t=-(t-5)+

∴当t=5时，即x=35时，(P+Q)max=.

∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.

本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.

已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ(t)的解析式.

解：f(x)=(x-2)-8

(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.

(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4.

(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.

故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7

综上所述：φ(t)=

例1若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么(　　 )

A.f(2)＜f(1)＜f(4)　　　　　　 B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)　　　　　　 D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.

解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)

在x＜2时，y=f(x)为减函数

∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)

即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A

通过此题可将对称语言推广如下：

(1)若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴

(2)若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.

例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值. 　

解：先求最小值.

因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;

(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;

(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a

综上所述：f(x)min=

最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;

(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.

故f(x)max=

评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.

例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,若?f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是(　　 )

A.a＜1,b＜1,且c＞1　　　　 B.0＜a＜1,b＞1且c＞1

C.b＞1,c＞1　　　　　　　　 D. c＞1且＜a＜1,a＜b＜

分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在(0，1)内是减函数，在(1，+∞)上为增函数.

观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c＞1且＜a＜1,a＜b＜.答案：D

评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用.

例4函数f(x)=x-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是(　　 )

A.f(b)≤f(c)　　　　　　　　　 B.f(b)≥f(c)

C.f(b)＜f(c)　　　　　　　　　 D.f(b)＞f(c)

分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.

解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-=1

∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,

∴f(x)=x-2x+3

(1)当x＞0时，1＜2＜3,且f(x)在［1，+∞上是增函数

所以f(2)＜f(3),即f(b)＜f(c)

(2)当x＜0时，1＞2＞3,且f(x)在(-∞,1)上是减函数，所以f(2)＜f(3)，即f(b)＜f(c)

(3)当x=0时，2=3=1

则f(2)=f(3),即f(b)=f(c)

综上所述，f(b)≤f(c).

答案：A

通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.

19. What is mainly discussed in the text?

　 A. Clothesline drying: a way to save energy and money.

　 B. Clothesline drying: a lost art rediscovered.

　 C. Opposite opinions on clothesline drying.

　 D. Different varieties of clotheslines.

答案点击

(一)1.D 2.A3.A 4.C5.C6.B7.D8.C9.A10.D11.D12.B13.D14.A15.B16.C17 C 18A 19A 20.B

(二)1 .A2.D3.C4.B5B　 6．B　 7C　 8D9C 10A 11.B 12.A13C14.C 15. A16.B17. D18. B19. C

18. Who are in favor of clothesline drying?

　 A. housing businesses.　　　　　　　 B. Environmentalists.

　 C. Homeowners Associations.　　　　 D. Reck’s dissatisfied neighbors.