1．一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t²，则它在[1,+△t]内的平均速度为( C )

(A)3△t+6　　 　(B)－3△t+6　 　(C)3△t－6　 (D)－3△t－6

提示：　 选(C)

例1．求过抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上一点P(x₀，y₀)处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y₀=(2ax₀+b)(x－x₀)

即　y=(2ax₀+b)x－ax+c，亦即y=(2ax₀+b)x－ax+c.

　抛物线焦点：F(,)，它关于切线的对称点之横坐标当x₀，说明从焦点发出的光线射到(x₀，y₀)经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

　要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值(斜率)，再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。

解：显然，y₀=ax+bx₀+c

　y'=2ax+b　 故在P点处切线斜率为2ax₀+b，

　切线方程y－(ax+bx₀+c)=(2ax₀+b)(x－x₀)，

　亦即y=(2ax₀+b)x－ax+c.

　由于y=ax²+bx+c按向量=平移即得到y=ax²，只须证明过其上一点(x₀，ax)的切线l ：y=2ax₀x－ax 满足：焦点关于l的对称点为(m，n).

　当x₀≠0时，消去n. 知 m=x₀.

　当x₀=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，

　故从焦点发出的光线射到(x₀，ax)后被抛物面反射后的方程为x=x₀(与对称轴平行)；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.

例2．求函数y=x⁴+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.

分析：首先由得x⁴+2=0 知，两曲线无交点.

　y'=4x³+1，切线要与已知直线平行，须4x³+1=1，x=0.

　故切点：(0 , －2)

　一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例(如图)与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，(A为一交点)，则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.

　当然，我的也可用参数直接考虑：设(x₀，x+x₀－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为

　上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为(0，2)。

解：y'= 4x³+1，令4x³+1=1，x=0. 由此知过曲线上点(0，－2)的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到　　 已知直线距离最近，为.

例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x³－3x²+2x相切，试求直线l的方程。

分析： 设切点为(x₀，y₀)，则y₀＝x₀³－3x₀²+2x₀，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x₀即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程。在两边同除以x₀时，要注意对x₀是否为0进行讨论。

解：设直线l：y＝kx 。 ∵y'＝3x²－6x+2， ∴y'|_x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x³－3x²+2相切于原点时，k＝2。

若直线与曲线切于点(x₀，y₀) (x₀≠0)，则k＝，∵y₀＝x₀³－3x₀²+2x₀，

∴=x₀²－3x₀+2，

又∵k＝y'|＝3x₀²－6x₀+2，

∴x₀²－3x₀+2＝3x₀²－6x₀+2，　∴2x₀²－3x₀＝0，

∵x₀≠0，　∴x₀＝，　∴k＝x₀²－3x₀+2＝－，

故直线l的方程为y＝2x或y＝－x。

例4．已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为(不同于)，过作C的切线，与C的另一公共点为(不同于)，…，得到C的一列切线，，…，，…，相应的切点分别为，，…，，…。

(1)求的坐标；

(2)设到的角为，求之值。

解：(1)设，过作C的切线。

C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。

即(舍去)或。

由题意，，从而，(n∈N*)

即；

(2)的斜率。

的斜率。

。

例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t－0.45t²(单位是米)，这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？

解：当火车运行速度为0时，火车停车。

v＝s'＝(27t－0.45t²)'＝27－0.9t，

令27＝0.9t＝0，得t＝30(秒)，

则s＝27×30－0.45×30²＝405(米)，

故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。

例6．求曲线y＝在横坐标为x₀的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。

分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。

解：由导数的定义可得y ^/＝－，则过()点的切线方程为，由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x₀，0)，B(0，)。

则|AB|²＝≥，

∴|AB|≥，当且仅当，即x₀＝±时，等号成立。故最短长度为。

例7．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，

直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时，点P的速度

为v，求这时点M的速度。(1984年·全国高考附加题)

分析： 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导。

解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，

由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈(0，π)。

∵△APM∽△DCM，∴。

∵DM=y- (1-cos)，DC=sin，∴

　∴。

上式两边对时间t进行求导，则 。

∴=

当时，，代入上式得点M的速度。

例8．已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立．

(Ⅰ)求实数的取值范围；

(Ⅱ)求角的取值范围；

　　 (Ⅲ)求实数的取值范围．

解：(1)由知，在R上单调递增，

恒成立，且，即且，，

　 当，即时，，

时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．

(2)，由余弦定理：，，

(3)在R上单调递增，且，

所以，

故，即，，即，即．

例9．已知函数在区间单调递增，在区间单调递减.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若点A(x₀,f(x₀))在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

(Ⅲ)是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

解：(Ⅰ)由函数单调递减，

(Ⅱ)

(Ⅲ)函数

　物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。

利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。

函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。

利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。

用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数(斜率)来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。

破釜沉舟!!攻克语音关!(21)

6．仿照例句，另写两句话。字数不限，运用拟人的修辞方法，内容有意蕴。(4分)

例句：摇篮告诉幼小的生命，人生是不平静的，也是动荡的。

　　 　　 栏杆告诉行人，只有制约，才有保护。

5．请以“谦卑”为话题，仿照例句，另写两句话。要求句式相同或相似，修辞手法相同，内容有意蕴。(4分)

例句：春很谦卑，它总是在凌厉的冬后悄然而至，可它却催开了花朵，温暖了生命。

4．依次填入下文横线处最恰当的一项是(　　 )

　　　 人只不过是一根苇草，是自然界最脆弱的东西，　　　　 。　　　　 ；　　　　 。　　　 然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西高贵得多；因为他知道自己　　　　 要死亡，以及宇宙对他所具有的优势，而宇宙对此却是一无所知。

①一口气、一滴水就足以致他死命了

　②但他是一根能思想的苇草

　③用不着整个宇宙都拿起武器才能毁灭他

　　　　 A．①③②　　　　　 B．②①③　　　　 C．②③①　　　　 D．①②③

3．下列各句中没有语病、句意明确的一项是(　　 )

A．这幅图片再现了身穿节日盛装的姑娘们围绕在熊熊篝火旁一起歌舞狂欢，汗水浸湿了她们的衣衫。

B．根据意大利法律规定，贝卢斯科尼在总理任期内不能担任俱乐部主席，否则他就有可能做有违公众利益的行为。

C．只有当劳动与兴趣、爱好乃至理想有机地结合在一起的时候，潜藏在每个人身上的想象力和创造力，才能够最大程度地发挥出来。

D．我校这次为四川地震灾区募捐的活动，得到了许多学校老师和同学的积极响应，在不到一天的时间内就募集善款三万余元。

2．下列句子中加点成语运用恰当的一项是(　　 )

A．这篇文章写得是有点耸人听闻了，表面看似乎有道理，其实不符合自然规律。

B．汶川地震后，济南中心医院已接收了6名来自地震灾区的小伤员。医护人员和志愿者无所不至的关爱让孩子们倍感温暖。

C．李丽听过王老师一节课，就能将其讲课的动作、神态模仿得栩栩如生

D．广有羽翼的老鹰在山林中迅捷地飞翔，寻觅猎物。