6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

　　 对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　　 f(x)·g(x)　　 当x∈D_f且x∈D_g

　　 规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　　 g(x)　　　　 当xD_f且x∈D_g

(3)　 若函数f(x)=,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(4)　 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

　[解] (1)h(x)=　 　　　x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

　　　　　　　　 1　　　　　　 x=1

　 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

　　　 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x, α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.

5．已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解.

当时，，解得.

因此，原不等式的解集为.

(Ⅲ)

①

②

ⅰ)

ⅱ)

4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则

(Ⅱ)

3．　 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 (Ⅰ)证明

(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

　 (Ⅰ)证法1：∵当

即　

于是有　

所有不等式两边相加可得　

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

　 (i)当n=3时，　 由

知不等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由(i)、(ii)知，

又由已知不等式得　

　 (Ⅲ)∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

2．设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

　 (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

　 (Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 　①

　　 设是方程①的两个不同的根，

　　 ∴　 ②

　　 且由N(1，3)是线段AB的中点，得

　　 解得k=－1，代入②得，的取值范围是(12，+∞).

　　 于是，直线AB的方程为

　　 解法2：设则有

　　 依题意，

∵N(1，3)是AB的中点，　 ∴

又由N(1，3)在椭圆内，∴

∴的取值范围是(12，+∞).

直线AB的方程为y－3=－(x－1)，即x+y－4=0.

　 (Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入椭圆方程，整理得　

又设CD的中点为是方程③的两根，

∴

于是由弦长公式可得　 　④

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得　 ⑤

同理可得　 　⑥

∵当时，

假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

点M到直线AB的距离为 　⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

　 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|²=|CN|·|DN|，

即 　　⑧

由⑥式知，⑧式左边

由④和⑦知，⑧式右边

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2：由(Ⅱ)解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得

　 ③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得　 ⑤

解③和⑤式可得　

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)

1． 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

(2)证明∠PFA=∠PFB.

解：(1)设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　 切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 (2)方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

　　 对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　　 f(x)·g(x)　　 当x∈D_f且x∈D_g

　　 规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　　 g(x)　　　　 当xD_f且x∈D_g

(1)　 若函数f(x)=,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)　 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六

5．已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

3．　 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 (Ⅰ)证明

(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有