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一、选择题
AACCD BBDDD AC
二、填空题
13. 14.T13 15.①⑤ 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)因为,
由正弦定理,得, ……3分
整理,得
因为、、是的三内角,所以,
因此 . ……6分
(Ⅱ),即, ……8分
由余弦定理,得,所以, ……10分
解方程组,得 . ……12分
18.(本题满分12分)
解法一:记与的比赛为,
(Ⅰ)齐王与田忌赛马,有如下六种情况:
,,
, ,
, . ………………………3分
其中田忌获胜的只有一种,所以田忌获胜的概率为.
…………………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)已知齐王第一场必出上等马,若田忌第一场出上等马或中等马,则剩下两场中至少输掉一场,这时田忌必败.
为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马,后两场有两种情形:
①若齐王第二场派出中等马,可能对阵情形是、
或者、,所以田忌获胜的概率为; ………………………9分
②若齐王第二场派出下等马,可能对阵情形是、
或者、,所以田忌获胜的概率为,
所以田忌按或者的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大值.
………………………………………………………………………………………12分
解法二:各种对阵情况列成下列表格:
1
2
3
4
5
6
………………………3分
(Ⅰ)其中田忌获胜的只有第五种这一种情形,所以田忌获胜的概率为.……6分
(Ⅱ)为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马,即只能是第五、第六两种情形. …………………………………………………9分
其中田忌获胜的只有第五种这一种情形,所以田忌按或者的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大值.………………………12分
19.(本题满分12分)
解证: (Ⅰ) 连结连结,
∵四边形是矩形
∴为中点
又为中点,从而∥ ------------3分
∵平面,平面
∴∥平面。-----------------------5分
(Ⅱ)(方法1)
三角形的面积-------------------8分
到平面的距离为的高
∴---------------------------------11分
因此,三棱锥的体积为。------------------------------------12分
(方法2)
,
,
∴为等腰,取底边的中点,
则,
∴的面积 -----------8分
∵,∴点到平面的距离等于到平面
的距离,
由于,,
∴ ,
过作于,则就是到平面的距离,
又,----------11分
---------------------12分
(方法3)
到平面的距离为的高
∴四棱锥的体积------------------------9分
三棱锥的体积
∴---------------------------------------------11分
因此,三棱锥的体积为。-------------------------------------12分
20.(Ⅰ)依题意知,
∵,
∴.
∴所求椭圆的方程为. ……4分
(Ⅱ)设点关于直线的对称点为,
∴ ……6分
解得:,. ……8分
∴. ……10分
∵ 点在椭圆:上,
∴, 则.
∴的取值范围为. ……12分
21.解:(Ⅰ)由知,定义域为,
. ……………………3分
当时,, ………………4分
当时, . ………………5分
所以的单调增区间是,
的单调减区间是. …………………… ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增,且当或时,
, 所以的极大值为,
极小值为. ………………………8分
又因为,
, ………10分
所以在的三个单调区间上,
直线与的图象各有一个交点,
当且仅当, 因此,
的取值范围为. ………………12分
22.解:(Ⅰ)当时, ……………………………3分
∴=
=
=
= …………………………………7分
(Ⅱ)
+
+
=
= ……………13分
当且仅当,即时,最小.……………………14分