在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图（2）．
（I）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．

一个多面体的直观图和三视图如图所示：

（I）求证：PA⊥BD；
（II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，说明理由．

（2013•济宁二模）如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E落在BD上．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABD的体积．

如图，等腰直角三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，SA=SB=

2

且AB∥CD，DA⊥AB，AD=2，CD=4，E、F分别是线段SC、CD的中点．
（I）求证：平面BEF∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S-BD-F的余弦值．