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19.解:(1)连接B1D1,ABCD―A1B1C1D1为四棱柱,
,
则在四边形BB1D1D中(如图),
得△D1O1B1≌△B1BO,可得∠D1O1B1=∠OBB1=90°,
即D1O1⊥B1O
(2)解法一:连接OD1,△AB1C,△AD1C均为等腰
三角形,
且AB1=CB1,AD1=CD1,所有OD1⊥AC,B1O⊥AC,
显然:∠D1OB1为所求二面角D1―AC―B1的平面角,
由:OD1=OB1=B1D=2知
解法二:由ABCD―A1B1C1D1为四棱柱,得面BB1D1D⊥面ABCD
所以O1D1在平面ABCD上的射影为BD,由四边形ABCD为正方形,AC⊥BD,由三垂线定理知,O1D1⊥AC。可得D1O1⊥平面AB1C。
又因为B1O⊥AC,所以∠D1OB1所求二面角D1―AC―B1的平面角,
20.解:(1)曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线的距离小1,
可得|MF|等于M到y=-1的距离,由抛物线的定义知,M点的轨迹为
(2)当直线的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
当直线m与x轴不垂直时,设直线m的方程为
代入 ①
恒成立,
设交点A,B的坐标分别为
∴直线m与曲线C恒有两个不同交点。
则 ② ③
故直线m的方程为
21.解:(1)由已知得
(2)
(3)
某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试,其中男生30人,女生20人.为了了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1~50号),并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀,小于80分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据:
编号
性别
投篮成绩
2
男
90
7
女
60
12
75
17
80
22
83
27
85
32
37
42
70
47
甲抽取的样本数据
1
95
8
10
20
23
28
33
35
65
43
48
乙抽取的样本数据
(Ⅰ)观察乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,求两名男同学中恰有一名非优秀的概率.
(Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表,判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关?
优秀
非优秀
合计
(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由.
下面的临界值表供参考:
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(参考公式:,其中)