摘要:如下图.在△ABC中.BC.BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线.且PD∥AB.PE∥AC.则△PDE的周长是
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如图,在△ABC中,∠ABC=30°,BC=4,AB=3,点P为△ABC内一点,连接AP、BP、CP,且∠APC=∠BPA=120°,按下列要求用直尺和圆规作图(保留作图痕迹);
分别以AB、PB为边在BC边的上方作等边△ABD和等边△PBE,连接DE,然后回答下列问题:
(1)AP=
(2)∠CBD=
(3)PA+PB+PC=
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分别以AB、PB为边在BC边的上方作等边△ABD和等边△PBE,连接DE,然后回答下列问题:
(1)AP=
DE
DE
;(填写图中一条线段)(2)∠CBD=
90
90
°(3)PA+PB+PC=
5
5
.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB边上的高线.
求证:PE+PF=CD
证明:连接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题:
求证:等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高.
已知:点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC边上的高线.
求证:PD+PE+PF=AH
证明:
方法(一)类比:通过类比上题的思路和方法,模仿上题的“面积法”解决本题.
连接AP,BP,CP
方法(二)化归:如图,通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN,化“新题”为“老题”,直接利用“老题重现”的结论解决问题.
过点P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.
【提炼运用】
已知:点P是等边△ABC内任意一点,设到三边的距离分别为a、b、c,且使得以a、b、c为边能够构成三角形.
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置,并对这些位置加以说明.
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【老题重现】
求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB边上的高线.
求证:PE+PF=CD
证明:连接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
+
=
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题:
求证:等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高.
已知:点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC边上的高线.
求证:PD+PE+PF=AH
证明:
方法(一)类比:通过类比上题的思路和方法,模仿上题的“面积法”解决本题.
连接AP,BP,CP
方法(二)化归:如图,通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN,化“新题”为“老题”,直接利用“老题重现”的结论解决问题.
过点P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.
【提炼运用】
已知:点P是等边△ABC内任意一点,设到三边的距离分别为a、b、c,且使得以a、b、c为边能够构成三角形.
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置,并对这些位置加以说明.
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求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB边上的高线.
求证:PE+PF=CD
证明:连接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
AB×PE |
2 |
AC×PF |
2 |
AB×CD |
2 |
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题:
求证:等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高.
已知:点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC边上的高线.
求证:PD+PE+PF=AH
证明:
方法(一)类比:通过类比上题的思路和方法,模仿上题的“面积法”解决本题.
连接AP,BP,CP
方法(二)化归:如图,通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN,化“新题”为“老题”,直接利用“老题重现”的结论解决问题.
过点P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.
【提炼运用】
已知:点P是等边△ABC内任意一点,设到三边的距离分别为a、b、c,且使得以a、b、c为边能够构成三角形.
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置,并对这些位置加以说明.
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阅读下面资料:
小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1,求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接A1C、B1A、C1B,因为A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比,所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a,由此继续推理,从而解决了这个问题.
(1)直接写出S1=
请参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:
(2)如图3,P为△ABC内一点,连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形面积已在图上标明,求△ABC的面积.
(3)如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点,求S△APE与S△BPF的比值.
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小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1,求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接A1C、B1A、C1B,因为A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比,所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a,由此继续推理,从而解决了这个问题.
(1)直接写出S1=
19a
19a
(用含字母a的式子表示).请参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:
(2)如图3,P为△ABC内一点,连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形面积已在图上标明,求△ABC的面积.
(3)如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点,求S△APE与S△BPF的比值.
【老题重现】
求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB边上的高线.
求证:PE+PF=CD
证明:连接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题:
求证:等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高.
已知:点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC边上的高线.
求证:PD+PE+PF=AH
证明:
方法(一)类比:通过类比上题的思路和方法,模仿上题的“面积法”解决本题.
连接AP,BP,CP
方法(二)化归:如图,通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN,化“新题”为“老题”,直接利用“老题重现”的结论解决问题.
过点P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.
【提炼运用】
已知:点P是等边△ABC内任意一点,设到三边的距离分别为a、b、c,且使得以a、b、c为边能够构成三角形.
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置,并对这些位置加以说明.
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求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB边上的高线.
求证:PE+PF=CD
证明:连接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题:
求证:等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高.
已知:点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC边上的高线.
求证:PD+PE+PF=AH
证明:
方法(一)类比:通过类比上题的思路和方法,模仿上题的“面积法”解决本题.
连接AP,BP,CP
方法(二)化归:如图,通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN,化“新题”为“老题”,直接利用“老题重现”的结论解决问题.
过点P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.
【提炼运用】
已知:点P是等边△ABC内任意一点,设到三边的距离分别为a、b、c,且使得以a、b、c为边能够构成三角形.
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置,并对这些位置加以说明.
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