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【阅读理解】
已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分线,交BC边于点D.求证:AC=AB+BD证明:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知:Rt△ADB≌Rt△ADE(AAS)
∴∠AED=∠B=90°,DE=DB
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.
∴DE=EC.
∴AC=AE+EC=AB+BD.
【解决问题】
已知,如图2,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC边于点D,DE⊥AC,垂足为E,若AB=2,则三角形DEC的周长为________.
【数学思考】:现将原题中的“AD是内角平分线,交BC边于点D”换成“AD是外角平分线,交BC边的延长线于点D如图3”,其他条件不变,请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系,并证明你的猜想.
【类比猜想】
任意三角形ABC,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的外角平分线,交CB边的延长线于点D,如图4,请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系.
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【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
【问题解决】如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:,.
∴.
∵a≠b,∴>0.
∴M-N>0.∴M>N.
【类比应用】(1)已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .
试比较M与N的大小.
(2)已知:如图2,锐角△ABC (其中BC为a ,AC为 b,
AB为c)三边满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,
使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点,第三个顶点落
在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
【拓展延伸】 已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
【问题解决】如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:,.
∴.
∵a≠b,∴>0.
∴M-N>0.∴M>N.
【类比应用】(1)已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .
试比较M与N的大小.
(2)已知:如图2,锐角△ABC (其中BC为a ,AC为 b,
AB为c)三边满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,
使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点,第三个顶点落
在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
【拓展延伸】 已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
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【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
【问题解决】如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:,.
∴.
∵a≠b,∴>0.
∴M-N>0.∴M>N.
【类比应用】(1)已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .
试比较M与N的大小.
(2)已知:如图2,锐角△ABC (其中BC为a ,AC为 b,
AB为c)三边满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,
使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点,第三个顶点落
在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
【拓展延伸】 已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?