摘要:(1)连结 ,(2)猜想: ,(3)证明:
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操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)再(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是______;
结论2:DM、MN的位置关系是______;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)再(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是______;
结论2:DM、MN的位置关系是______;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)再(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是______;
结论2:DM、MN的位置关系是______;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)再(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是______;
结论2:DM、MN的位置关系是______;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)再(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是______;
结论2:DM、MN的位置关系是______;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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(2013•山西模拟)操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是
结论2:DM、MN的位置关系是
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是
相等
相等
;结论2:DM、MN的位置关系是
垂直
垂直
;拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【图形变换的探究与猜想】
从特殊到一般,从全等到相似;求证线段的数量关系或位置关系.关键是第一问的全等的证明,发现全等的三角形,一般是利用ASA完成证明,从而得到需要证明的相似三角形(利用两边对应成比例且夹角相等).
例:正方形ABCD,E为直线AB上任意一点,DF⊥DE交直线BC于点F,直线EF、AC交于点H,连接DH.
(1)①如图1,当点E在边AB上时,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系;
②如图2,当点E在边AB的反向延长线上时,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系;写出你的结论并从①、②中任选一个证明;
(2)如图3,若点E在AB边的延长线上,其它条件不变,完成图3,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系,直接写出你的结论,不需要证明;
(3)如图4,若将图1中的正方形ABCD改为矩形ABCD为正方形,且AB=kAD,其它条件不变,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系,直接写出结论,不需要证明.
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从特殊到一般,从全等到相似;求证线段的数量关系或位置关系.关键是第一问的全等的证明,发现全等的三角形,一般是利用ASA完成证明,从而得到需要证明的相似三角形(利用两边对应成比例且夹角相等).
例:正方形ABCD,E为直线AB上任意一点,DF⊥DE交直线BC于点F,直线EF、AC交于点H,连接DH.
(1)①如图1,当点E在边AB上时,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系;
②如图2,当点E在边AB的反向延长线上时,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系;写出你的结论并从①、②中任选一个证明;
(2)如图3,若点E在AB边的延长线上,其它条件不变,完成图3,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系,直接写出你的结论,不需要证明;
(3)如图4,若将图1中的正方形ABCD改为矩形ABCD为正方形,且AB=kAD,其它条件不变,判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系,直接写出结论,不需要证明.