Question

【图形变换的探究与猜想】
从特殊到一般，从全等到相似；求证线段的数量关系或位置关系．关键是第一问的全等的证明，发现全等的三角形，一般是利用ASA完成证明，从而得到需要证明的相似三角形（利用两边对应成比例且夹角相等）．
例：正方形ABCD，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH．

（1）①如图1，当点E在边AB上时，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系；
②如图2，当点E在边AB的反向延长线上时，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系；写出你的结论并从①、②中任选一个证明；
（2）如图3，若点E在AB边的延长线上，其它条件不变，完成图3，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系，直接写出你的结论，不需要证明；
（3）如图4，若将图1中的正方形ABCD改为矩形ABCD为正方形，且AB=kAD，其它条件不变，判断线段DH与线段EF之间的数量关系和位置关系，直接写出结论，不需要证明．

Answer 1

分析：（1）①求出AD=DC，∠EAD=∠FCD，∠EDA=∠FDC，证△EAD≌△FCD，推出ED=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、C、F四点共圆，推出∠DHF=∠DCF=90°，根据等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出DH=

1

2

EF即可；
②求出AD=DC，∠EAD=∠FCD，∠EDA=∠FDC，证△EAD≌△FCD，推出ED=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、F、C四点共圆，推出∠DHF=∠DCF=90°，根据等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出DH=

1

2

EF即可；
（2）画出图形，证△ADE≌△CDF，推出DE=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、F、C四点共圆，推出∠DHF=∠DCF=90°，根据等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出DH=

1

2

EF即可；
（3）证△ADE∽△CDF，推出

DE

DF

=

AD

DC

=

1

k

，根据解直角三角形求出∠DFE=∠DCA，推出D、F、C、H、四点共圆，推出∠DHF=∠DCF=90°，设DE=x，DF=kx，根据勾股定理EF=

1+k2

x，证△DHE∽△FDE，求出DH，即可求出答案．

解答：解：（1）①DH=

1

2

EF，DH⊥EF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DCA=45°，∠DAE=∠ADC=∠DCB=∠DCF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠ADE=∠CDF，
在△EAD和△FCD中

∠DAE=∠DCF AD=DC ∠ADE=∠CDF

∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠ACD，
∴D、H、C、F四点共圆，
∴∠DHF=∠DCF=90°，
∴DH⊥EF，
∵DE=DF，
∴EH=FH，
∵∠EDF=90°，
∴DH=

1

2

EF．
②DH=

1

2

EF，DH⊥EF，
证明过程和①类似．

（2）DH=

1

2

EF，DH⊥EF．证明过程和①类似．

（3）DH⊥EF，DH=

1

1+k2

EF，
理由是：∵由①知，∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴

AD

DC

=

DE

DF

，
∵AB=DCkAD，
∴DE=kDF，
设DE=x，DF=kx，
在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF=

DE2+DF2

=

1+k2

x，
∵在Rt△CDA中，tan∠DCA=

AD

DC

=

1

k

，在Rt△DEF中，tan∠DFE=

DE

DF

=

AD

DC

=

1

k

，
∴∠DCA=∠DFE，
∴∠DHF=∠DCF=90°，
∴DH⊥EF，
∴∠DHE=∠EDF，
∵∠DEF=∠DEH，
∴△DHE∽△FDE，
∴

DH

DE

=

DE

EF

，
∴DH=

x

1+k2 x

•x=

x

1+k2

，
∵EF=

1+k2

x，
∴DH=

1

1+k2

EF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．