说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

    二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C     5.D     6.D     7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11.  12.38      12.  5      13.  3        14.      15. ②③

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 本小题主要考查正弦定理、三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考

查学生的运算求解能力. 满分13分.

解：（Ⅰ）由，知                   ………………………（2分）

又，得，

          ，                      ………………………（5分）

故                                   ………………………（6分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

                  ………………………………（9分）

         ，

         当，即时，取得最大值为．   ……………（13分）                               

17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系，线面角等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.

解：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，；

∥，∥，

又，，

，…………（3分）

四边形为平行四边形，

∥，

又平面，平面，

∥平面．                          ………………………（6分）

（Ⅱ）依题意知平面平面，，

平面，得  

又，.

如图，以为原点，建立空间直角坐标系-xyz，

，可得、、，

.

设平面的一个法向量为，

由   得

解得，．             ………………………（9分）

设线段上存在一点，其中，则，

，

依题意：，即，

可得，解得（舍去）．  

             所以上存在一点．   …………（13分）

18．本题主要考查函数与导数等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，

考查应用意识. 满分13分.

    解：（Ⅰ）依题意，

销售价提高后为6000（1+）元/台，月销售量为台……………（2分）

则               ……………………（4分）

即．       ……………………（6分）

   （Ⅱ）

令，得，

解得舍去）．                      ……………………（9分）

当 当

当时，取得最大值．

此时销售价为元．

答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．…………………（13分）

19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分

解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

所以，解得

所以椭圆的标准方程为.  …（4分）                

（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.

记，，

，

.  ……………（5分）

由A关于轴的对称点为，得，

根据题设条件设定点为（，0），

得，即.

所以

即定点（1 ， 0）.                 ……………………………………（8分）

（ii）由（i）中判别式，解得.    

可知直线过定点 (1,0).

所以    　　　   ……………（10分）

得,  令

记，得，当时，.

在上为增函数.

所以 ，

得.

故△OA₁B的面积取值范围是.                     ……………（13分）

20. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明解

决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.

解：（Ⅰ）因为，

所以.           ………………（1分）

（i）当时，.

（ii）当时，由，得到，知在上.

（iii）当时，由，得到，知在上.

综上，当时，递增区间为；当时, 递增区间为.                   ………………………………………（4分）

（Ⅱ）（i）因为，

所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因为，

当时，，

当时，，

所以.                  …………………………（8分）

又因为，

所以令，则

得到与矛盾，所以不在数列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整数，使.

设为数列中不同的两项，则

.

又且,所以.

即是数列的第项.           ……………………（10分）

必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，

则，，（，为互不相同的正整数）

则，令，

得到 ，

所以，令整数，所以.　……（11 分）

下证整数

若设整数则.令，

由题设取使

即，所以

即与相矛盾，所以.

综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使.                          ……………………（14分）

21. （1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.

解： ，即 ，

所以  得              ……………………（4分）

     即M=   ，由得 .

或 =1 ,  .           …………………（7分）

（2）本题主要考查圆极坐标方程和直线参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.

解：曲线的极坐标方程可化为,

其直角坐标方程为，即.      ……………（2分）

直线的方程为.

所以，圆心到直线的距离          ……………………（5分）

所以，的最小值为.                  …………………………（７分）

（3）本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识，考查化归与转化思想. 满分7分.

解：由柯西不等式：

已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是：（是参数).
（1）将曲线和曲线的方程转化为普通方程；
（2）若曲线与曲线相交于两点，求证；
（3）设直线交于两点，且（且为常数），过弦的中点作平行于轴的直线交曲线于点，求证：的面积是定值．

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