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已知数列的前项和为,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由得. ……2分
若存在由得,
从而有,与矛盾,所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一. ……10分
证法三:(利用对偶式)设,,
则.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
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已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,,为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
第三问,
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
综合①、②可得的取值范围是.
(3),
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2, n=12时,数列中的成等比数列
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中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在某两队之间角逐,采用七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入30万元,以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元,当两队决出胜负后.问:
(1)组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛多少场?
(2)组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少?
分析:本题是一个概率与数列的综合试题,可以首先求出收入的通项公式,从而得出比赛的场数,再确定其概率.
查看习题详情和答案>>解:令an=an-1=x,则有x=3x+2,所以x=-1,故原递推式an=3an-1+2可转化为:
an+1=3(an-1+1),因此数列{an+1}是首项为a1+1,公比为3的等比数列.
根据上述材料所给出提示,解答下列问题:
已知数列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求数列的通项an;并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理;
(2)若记Sn=,求Sn;
(3)若数列{bn}满足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所学过的知识,把问题转化为可以用阅读材料的提示,求出解数列{bn}的通项公式bn.
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解:令an=an-1=x,则有x=3x+2,所以x=-1,故原递推式an=3an-1+2可转化为:
an+1=3(an-1+1),因此数列{an+1}是首项为a1+1,公比为3的等比数列.
根据上述材料所给出提示,解答下列问题:
已知数列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求数列的通项an;并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理;
(2)若记Sn=,求Sn;
(3)若数列{bn}满足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所学过的知识,把问题转化为可以用阅读材料的提示,求出解数列{bn}的通项公式bn.
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