题目内容
已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,
为其前n项和,且满足
,
.数列
满足
,
,
为数列
的前n项和.
(1)求数列的通项公式
和数列
的前n项和
;
(2)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
成等比数列?若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
第三问,
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
综合①、②可得的取值范围是
.
(3),
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2,
n=12时,数列中的
成等比数列
【答案】
见解析
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