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高三数学试卷（理科） 2009.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
C
D
A
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9.
10. 10，243 11. 
12. 
13. 24 14. 
注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A. -----------------------------1分
由题意，得事件A的概率
，
即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0, ----------------------------6分
每次汇报时，男生被选为代表的概率为
，女生被选为代表的概率为
.
； 
；
所以，
的分布列为：
2
0
P
---------------------------10分
的数学期望
.
---------------------------12分
16.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为
. ---------------------------1分
在
中，|OB|=2，
，
由正弦定理，得
，即
，
所以 
.
---------------------------5分
注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得
也得分.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
， ------------------7分
因为
，
所以
，
----------------------------9分
又
，
---------------------------11分
所以
.
---------------------------12分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）方法一：
解：由（Ⅰ）知，
又
，
平面
，
---------------------------5分
如图，过C作
于M，连接BM，
是BM在平面PCD内的射影，
，
又
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中, 
, PC=1, 
，
，
又
，
，
. ---------------8分
在
中, 
, BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小为
.
---------------------------9分
方法二：
解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则
,
---------------------------5分
过C作
于M，连接BM，设
，
则
，
，
；
1
共线，
，
2
由12，解得
，
点的坐标为
，
，
，
,
，
又，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
，，
，
二面角B-PD-C的大小为
.
--------------------------9分
（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，
，
，
平面ABCD，
，
，
在直角梯形ABCD中，
，
.
在
中，
，
，
，
，
的面积
，
---------------------------10分
三棱锥B-PAD的体积
，
，
---------------------------12分
即
，解得
，
点B到平面PAD的距离为
.
---------------------------14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：函数
的定义域为
，
---------------------------1分
.
---------------------------4分
因为
，所以
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：当
时，因为
，
所以
，故在
上是减函数； ------------------------7分
当a=0时，当
时，
，故在
上是减函数，
当
时，，故在
上是减函数，
因为函数在
上连续，
所以在上是减函数；
---------------------------9分
当0<a<1时，由
, 得x=
，或x=
. --------------------------10分
x变化时，
的变化如情况下表：
0
+
0
极小值
极大值
所以在
上为减函数、在
上为减函数；在
上为增函数.
------------------------13分
综上，当
时，在
上是减函数；
当0<a<1时，
在
上为减函数、在
上为减函数；在
上为增函数.
------------------------14分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，
所以
，
---------------------------1分
又因为点A(x1, y1)在椭圆C上
所以
，即
，解得
，
则点A的坐标为
或
，
-------------------------3分
所以直线l的方程为
或
. --------------------------5分
（Ⅱ）解：设直线AB的方程为
或
，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，
当AB的方程为时，
，与题意不符.
--------------------------6分
当AB的方程为时：
由题设可得A、B的坐标是方程组
的解，
消去y得
，
所以
即
，
则
，
---------------------------8分
因为 
，
所以
，解得
，
所以
.
--------------------------10分
因为
，即
，
所以当
时，由
，得
，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线
不存在； --------------------11分
当
时，
，
，
因为点
在椭圆上，
所以
，
-------------------------12分
化简得
，
因为，所以
，
则
.
综上，实数
的取值范围为
.
---------------------------14分
20.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列
有两个，即：
（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分
（2）数列3，4，2，5，1. ---------------------------3分
注：写出一个得2分，两个写全得3分.
（Ⅱ）答：存在数列，它的创新数列为等差数列.
解：设数列的创新数列为
，
因为
为
中的最大值.
所以
.
由题意知：
为
中最大值，
为
中最大值，
所以
，且
.
若
为等差数列，设其公差为d，则
，且
N， -----------------5分
当d=0时，为常数列，又，
所以数列为
，此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为，
所以数列为
，此时数列是； --------------------7分
当
时，因为
，
又
，所以
，
这与矛盾，所以此时
（本小题满分14分）已知椭圆C 
，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且
(O为坐标原点). 求当
时，实数
的取值范围.
（本小题满分14分）已知椭圆C 
，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且
(O为坐标原点). 求当
时，实数
的取值范围.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 查看习题详情和答案>>
已知椭圆C：