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1.（1）因为
，所以
又
是圆O的直径，所以
又因为
（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以
所以
又因为
，所以
相似
所以
，即
（2）因为
，所以
，
因为
，所以
由（1）知：
。所以
所以
，即圆的直径
又因为
，即
解得
2.依题设有：
令
，则
3.将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题
点
的直角坐标分别为
故
是以
为斜边的等腰直角三角形，
进而易知圆心为
，半径为
，圆的直角坐标方程为
，即
将
代入上述方程，得
，即
4.假设
，因为
，所以
。
又由
，则
，
所以
，这与题设矛盾
又若
，这与矛盾
综上可知，必有
成立
同理可证
也成立
命题成立
5. 解：由a1=S1,k=
.下面用数学归纳法进行证明.
1°.当n=1时，命题显然成立；
2°.假设当n=k(k
N*)时，命题成立,
即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,
则n=k+1时，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）
=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）
即命题对n=k+1.成立
由1°, 2°，命题对任意的正整数n成立.
6.（1）因为
，
，
，所以
故事件A与B不独立。
（2）因为
所以
已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线
的焦点为F1.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到
，又因为
，这样可知得到
。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到
，再利用
可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。
解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以椭圆E的方程为…………………………4分
(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分
代入椭圆E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1 +x2=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，
圆P的方程为（x+2）2+(y+1)2=4
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在
这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
解：延长F2Q 交F1P的延长线于E，据题意，
E与F2关于l对称，所以|PE|=|PF2|．
所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
在△EF1F2中，显然OQ是平行于EF1的中位线，
所以|OQ|=
| 1 |
| 2 |
注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是
其方程是：
（2）如图2，双曲线的方程是：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
设椭圆
的左、右顶点分别为
，点
在椭圆上且异于两点，
为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
与
的斜率之积为
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
，证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)解：设点P的坐标为
.由题意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以椭圆的离心率
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为
，设点P的坐标为.
由条件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.
由P在椭圆上，有
因为，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
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