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已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。
（1）问中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角关系是
，结合
，解得。
（2）由，解得
，
，结合二倍角公式
，和
,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②联立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
将①代入②中，可得
③ …………………4分
将③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，从而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
综上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
综上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
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已知函数f(x)＝
sin(ωx＋φ)
(0<φ<π，ω>0)过点
，函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) f(x)的图象向右平移
个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像和性质的运用，第一问中利用函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.得
,
所以
第二问中，
，
可以得到单调区间。
解：（Ⅰ）由题意得,,…………………1分
代入点
，得
…………1分
，
∴
（Ⅱ），
的单调递减区间为
，
.
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设椭圆
的左、右顶点分别为
，点
在椭圆上且异于两点，
为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
与
的斜率之积为
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
，证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)解：设点P的坐标为
.由题意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以椭圆的离心率
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为
，设点P的坐标为.
由条件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.
由P在椭圆上，有
因为，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
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如图，已知直线
（
）与抛物线
：
和圆
：
都相切，
是的焦点．
（Ⅰ）求
与
的值；
（Ⅱ）设
是上的一动点，以为切点作抛物线的切线
，直线交
轴于点
，以
、
为邻边作平行四边形
，证明：点
在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为
， 直线与轴交点为
，连接
交抛物线于
、
两点，求△
的面积
的取值范围．
【解析】第一问中利用圆：
的圆心为
，半径
．由题设圆心到直线的距离
．
即
，解得
（
舍去）
设
与抛物线的相切点为
，又
，得
，
．
代入直线方程得：
，∴
所以，
第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为
，焦点
． ………………（2分）
设
，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为
．
令
，得切线交轴的点坐标为
所以
，
， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴
因为是定点，所以点在定直线
第三问中，设直线
，代入
得
结合韦达定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圆：
的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
设与抛物线的相切点为，又，得，．
代入直线方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点． ………………（2分）
设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．
令，得切线交轴的点坐标为
所以，， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，
∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）
（Ⅲ）设直线，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面积范围是
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的中心在原点，焦点在
轴上，
的准线交于
两点，
；则
，抛物线的准线为
，由
,则
,把坐标
代入双曲线方程得
，所以双曲线方程为
，即
，所以
，所以实轴长
，选C.