摘要：讨论函数f(x)=x+的单调性. 解 方法一 显然f(x)为奇函数.所以先讨论函数f上的单调性.设x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·(1-). ∴当0<x2<x1≤时.>1, 则f(x1)-f(x2)<0.即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0.］上是减函数. 当x1>x2≥时.0<<1.则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在［.+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数. ∴f(x)分别在(-∞.-］.［.+∞)上为增函数, f(x)分别在［-.0).(0.］上为减函数. 方法二 由=1-=0可得x=± 当x>时或x<-时.>0,∴f(x)分别在(.+∞).(-∞.-］上是增函数. 同理0<x<或-<x<0时.<0 即f(x)分别在(0.］.［-.0)上是减函数.
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已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x2-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N*，证明：(
)n+(
)n+(
)n+…+(
)n＜
（e为自然对数的底数）．
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（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x2-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N*，证明：(
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| n |
| n |
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（2013•潍坊一模）设函数f(x)=
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
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（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
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