Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，得f′（x）=1-

a

x2

，由于a∈R，分a=0，a＜0，a＞0三类研究函数的单调性即可．
（2）由（1）的结论，讨论在哪些情况下函数的导数在（1，2）上符号恒正或者恒负即可．

解答：解：求导得：f′（x）=1-

a

x2

，
（1）f′（x）≥0，
当a=0时，f′（x）=1，函数是增函数；
当a＜0时，f′（x）=1-

a

x2

＞0，故函数在（-∞，0）与（0，+∞）上都是增函数
当a＞0时，f′（x）=1-

a

x2

＞0，得x＞

a

或x＜-

a

故函数在（-∞，-

a

）与（

a

，+∞）上都是增函数，在（-

a

，0）与（0，

a

）都是减函数．
（2）函数f（x）在（1，2）上为单调函数
由（1）知a≤0时，满足题意，
当a＞0时，函数在（

a

，+∞）上是增函数，在（0，

a

）是减函数，故当

a

≤1或

a

≥2时，符合题意解得0＜a≤1或a≥4，
综上，符合条件的实数a的取值范围是（-∞，1]∪[4，+∞）

点评：本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题（1）属于第一种类型．（2）属于第二种题型．