摘要：如图.直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分.E.F分别与BC交于点E.与AD交于点F.设AB=a,AD=b,BE=x． (Ⅰ)求证:AF=EC, (Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后.再将纸片ABEF沿AB对称翻折.然后平移拼接在梯形ECDF的下方.使一底边重合.直腰落在边DC的延长线上.拼接后.下方的梯形记作EE′B′C. (1)求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时.所对应的 x:b的值, (2)在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下.连接BE′.直线BE′与EF是否平行?你若认为平行.请给予证明,你若认为不平行.请你说明当a与b满足什么关系时.它们垂直? 命题意图:选题的目的是我觉得近几年南京市的中考题中的压轴题很喜欢考这种将几何图形进行翻折.平移等变换来探索结论.且让学生自己画出符合题意的图形.学生受思维能力与空间想象力的限制.很难理解题意. 参考答案:(Ⅰ)证明:∵AB=a.AD=b.BE=x .S梯形ABEF= S梯形CDFE． ∴a=a. ∴2AF=EC+(b-x)． 又∵EC＝b-x. ∴2AF=2EC.即AF=EC, 当直线EE′经过原矩形的顶点D时.如图(一). ∵EC∥E′B′. ∴=. 由EC＝b-x.E′B′=EB=x. DB′=DC+CB′=2a. 得. ∴x:b= , 当直线E′E经过原矩形的顶点A时.如图(二). 在梯形AE′B′D中. ∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点. ∴CE=. 即b-x＝(b+x). ∴x:b=． . 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时.BE′∥EF． 证明:连接BF． ∵FD∥BE, FD=BE. ∴四边形FBED是平行四边形. ∴FB∥DE. FB=DE, 又∵EC∥E′B′. 点C是DB′的中点. ∴DE=EE′. ∴FB∥EE′, FB= EE′. ∴四边形BE′EF是平行四边形 ∴BE′∥EF． 如图(二). 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时.显然BE′与EF不平行.设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M. 则E′M=a.． ∵x:b=. ∴EM=BC=b． 若BE′与EF垂直.则有∠GBE+∠BEG=90° 又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′. ∠MEE′+∠ME′E=90°. ∴∠GBE=∠ME′E. Rt△BME′中.tan∠E′BM= tan∠GBE==． 在Rt△EME′中.tan∠ME′E ==. ∴＝． 又∵a＞0.b＞0. . ∴当时.BE′与EF垂直. 试题来源:2007年山东省临沂市初中毕业与高中招生考试

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