摘要： 已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间, (2)令,设函数在处取得极值.记点M (,).N(,).P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势.并解释以下问题: (I)若对任意的m (, x).线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点.试确定t的最小值.并证明你的结论, (II)若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P.Q的公共点.请直接写出m的取值范围 解法一: (Ⅰ)依题意,得 由. 从而 令 21世纪教育网 ①当a>1时, 当x变化时.与的变化情况如下表: x + - + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得.函数的单调增区间为和.单调减区间为. ②当时.此时有恒成立.且仅在处.故函数的单调增区间为R ③当时.同理可得.函数的单调增区间为和.单调减区间为 21世纪教育网 综上: 当时.函数的单调增区间为和.单调减区间为, 当时.函数的单调增区间为R, 当时.函数的单调增区间为和.单调减区间为. (Ⅱ)由得令得 由(1)得增区间为和.单调减区间为.所以函数在处取得极值.故M()N(). 观察的图象.有如下现象: ①当m从-1变化到3时.线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负. ②线段MP与曲线是否有异于H.P的公共点与Kmp-的m正负有着密切的关联, ③Kmp-=0对应的位置可能是临界点.故推测:满足Kmp-的m就是所求的t最小值.下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率, 线段MP的斜率Kmp 当Kmp-=0时.解得 直线MP的方程为 21世纪教育网 令 当时.在上只有一个零点.可判断函数在上单调递增.在上单调递减.又.所以在上没有零点.即线段MP与曲线没有异于M.P的公共点. 当时.. 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点21世纪教育网 综上.t的最小值为2. 于中的观察.可得m的取值范围为 解法二: (1)同解法一. (2)由得.令.得 由(1)得的单调增区间为和.单调减区间为.所以函数在处取得极值.故M().N() (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在上有根,即函数 上有零点. 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点. 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根. 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2.

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