摘要：题型1:数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否: (1), (2), (3)若.则, (4)若.则当且仅当时成立, (5)对任意向量都成立, (6)对任意向量.有. 解析:错,对. 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系.重点清楚为零向量.而为零. 例2． 已知△中.过重心的直线交边于.交边于.设△的面积为.△的面积为...则(ⅰ) (ⅱ)的取值范围是 . [解析]设....因为是△的重心.故 .又..因为与共线.所以.即.又与不共线.所以及.消去.得. (ⅰ).故, (ⅱ).那么 .当与重合时..当位于中点时. .故.故但因为与不能重合.故 (2)设..是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不与垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中.是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:(1)答案:D,因为.而,而方向与方向不一定同向. (2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律.故①假,②由向量的减法运算可知||.||.|-|恰为一个三角形的三条边长.由“两边之差小于第三边 .故②真,③因为［(·)-(·)］·=(·)·-(·)·=0.所以垂直.故③假,④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立.故④真. 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律.向量的数量积运算不满足结合律. 题型2:向量的夹角 例3．(1)过△ABC的重心任作一直线分别交AB.AC于点D.E．若...则的值为( ) 2 (D)1 解析:取△ABC为正三角形易得＝3．选B． 评析:本题考查向量的有关知识.如果按常规方法就比较难处理.但是用特殊值的思想就比较容易处理.考查学生灵活处理问题的能力． (2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且.那么与的夹角的大小是 . (3)已知两单位向量与的夹角为.若.试求与的夹角. (4)| |=1.| |=2.= + .且⊥.则向量与的夹角为 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析:(2), (3)由题意..且与的夹角为. 所以.. . . 同理可得. 而. 设为与的夹角. 则. (4)C,设所求两向量的夹角为 即: 所以 点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式.要掌握向量坐标形式的运算.向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑.对于这个公式的变形应用应该做到熟练.另外向量垂直的充要条件必需掌握. 例4．(1)设平面向量..的和.如果向量...满足.且顺时针旋转后与同向.其中.则( ) A．-++= B．-+= C．+-= D．++= 已知向量与互相垂直.其中． (1)求和的值, (2)若.求的值． 解 (1)∵与互相垂直.则.即.代入得.又. ∴. (2)∵..∴. 则. 2.如图.已知△ABC中.|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记. (1) 求关于θ的表达式; (2) 求的值域. 解:(1)由正弦定理.得 (2)由.得 ∴.即的值域为.

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